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全等三角形问题中常见的辅助线的作法
常见辅助线的作法有以下几种:
1)遇到三角形的中线,倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利用的
思维模式是全等变换中的“旋转”.
2)截长法与补短法,具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条
线段延长,是之与特定线段相等,再利用三角形全等的有关性质加以说明.这种作法适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目.
3)遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题,思维模式是全等变
换中的“对折”.
4)遇到角平分线,可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线,利用的思维模式是三角
形全等变换中的“对折”,所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理.
5)过图形上某一点作特定的平分线,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“平
移”或“翻转折叠”
特殊方法:在求有关三角形的定值一类的问题时,常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来,利用三角形面积的知识解答.
一、倍长中线(线段)造全等
例1.已知:如图3所示,AD为△ABC的中线,
求证:AB+AC>2AD。
分析:要证AB+AC>2AD,由图形想到:AB+BD>AD,AC+CD>AD,所以有:AB+AC+ BD+CD > AD +AD=2AD,
但它的左边比要证结论多BD+CD,故不能直接证出此题,而由2AD想
到要构造2AD,即加倍中线,把所要证的线段转移到同一个三角形中去。
证明:延长AD至E,使DE=AD,连接BE,CE。
E
D C
B
A
3图
例3、如图,△ABC中,BD=DC=AC,E是DC的中点,求证:AD平分∠BAE. 因为BD=DC=AC,所以AC=1/2BC
因为E是DC中点,所以EC=1/2DC=1/2AC A
B C
D
E
3
图
∠ACE=∠BCA ,所以△BCA ∽△ACE 所以∠ABC=∠CAE
因为DC=AC ,所以∠ADC=∠DAC ∠ADC=∠ABC+∠BAD
所以∠ABC+∠BAD=∠DAE+∠CAE 所以∠BAD=∠DAE
即AD 平分∠BAE 应用: 二、截长补短
例1.已知:如图1所示, AD 为△ABC 的中线,且∠1=∠2,∠3=∠4。
求证:BE+CF>EF 。
分析:要证BE+CF>EF ,可利用三角形三 边关系定理证明,须把BE ,CF ,EF 移到同一个三角形中,而由已知∠1=∠2, ∠3=∠4,可在角的两边截取相等的线段,利用全等三角形的对应边相等,把EN ,FN ,EF 移到同个三角形中。
证
明
:
在
DN
上
截
取
DN=DB
,
连
接
NE
,
NF
。
延长FD 到G , 使DG=FD, 再连结EG,BG
1、如图,ABC ∆中,AB=2AC ,AD 平分BAC ∠,且AD=BD ,求证:CD ⊥AC
证明:
取AB 中点E ,连接DE ∵AD=BD
∴DE ⊥AB ,即∠AED=90º【等腰三角形三线合一】 ∵AB=2AC ∴AE=AC
又∵∠EAD=∠CAD 【AD 平分∠BAC 】 AD=AD
∴⊿AED ≌⊿ACD (SAS ) ∴∠C=∠AED=90º
∴CD ⊥AC
C
B
A
A
B
C
D
E
F
N
1
-图1
234
C
C
C
B
A
2、如图,AC ∥BD ,EA,EB 分别平分∠CAB,∠DBA ,CD 过点E ,求证;AB =AC+BD
在AB 上取点N ,使得AN=AC
∠CAE=∠EAN ,AE 为公共边,所以三角形CAE 全等三角形EAN 所以∠ANE=∠ACE
又AC 平行BD
所以∠ACE+∠BDE=180 而∠ANE+∠ENB=180 所以∠ENB=∠BDE ∠NBE=∠EBN
BE 为公共边,所以三角形EBN 全等三角形EBD 所以BD=BN
所以AB=AN+BN=AC+BD
3、如图,已知在ABC 内,0
60BAC ∠=,0
40C ∠=,P ,Q 分别在BC ,CA 上,并且AP ,
BQ 分别是BAC ∠,ABC ∠的角平分线。求证:BQ+AQ=AB+BP
证明:
做辅助线PM ‖BQ ,与QC 相交与M 。 (首先算清各角的度数) ∵∠APB=180°—∠BAP —∠ABP=180°—30°—80°=70° 且∠APM=180°—∠APB —∠MPC=180°—70°—∠QBC 角相等)=180°—70°—40°=70° ∴∠APB=∠APM
又∵AP 是BAC 的角平分线, ∴∠BAP=∠MAP AP 是公共边
∴△ABP ≌△AMP(角边角) ∴AB=AM ,BP=MP
在△MPC 中,∠MCP=∠MPC=40° ∴MP=MC
∴AB+BP=AM+MP=AM+MC=AC 在△QBC 中
∵∠QBC=QCB=40° ∴BQ=QC
∴BQ+AQ=AQ+QC=AC ∴BQ+AQ=AB+BP
4、角平分线如图,在四边形ABCD 中,BC >BA,AD =CD ,BD 平分∠求证: 0
180=∠+∠C A
延长BA,作DF ⊥BA 的延长线,作DE ⊥BC
B A
∵∠1=∠2
∴DE=DF (角分线上的点到角的两边距离相等) ∴在Rt △DFA 与Rt △DEC 中 {AD=DC,DF=DE}
∴Rt △DFA ≌Rt △DEC (HL) ∴∠3=
∠C
因为∠4+∠3=180° ∴∠4+∠C=180° 即∠A+∠C=180°♢
5、如图在△ABC 中,AB >AC ,∠1=∠2,P 为AD 上任意一点,求证;AB-AC >PB-PC
延长AC 至E ,使AE=AB ,连结PE 。
然后证明一下△ABP ≌AEP 得到PB=PE 备用~)
△PCE 中,EC>PE-PC ∵EC=AE-AC ,AE=AB ∴EC=AB-AC 又PB=PE
∴PE-PC=PB-PC ∴AB-AC>PB-PC
应用:
D
C
B
A
三、平移变换
例1 AD 为△ABC 的角平分线,直线MN ⊥AD 于A.E 为MN 上一点,△ABC 周长记为A P ,△EBC 周长记为B P .求证B P >A P .
例2 如图,在△ABC 的边上取两点D 、E ,且BD=CE ,求证:AB+AC>AD+AE.
E
D C
B
A
四、借助角平分线造全等
1、如图,已知在△ABC 中,∠B=60°,△ABC 的角平分线AD,CE 相交于点O ,求证:OE=OD
在AC 上取点F ,使AF=AE
∵AD 是角A 的平分线
∴角EAO =角FAE/
∵AO=AO
∴三角形AEO 与AFO 全等(两边夹角相等)
∴EO=FO ,角AOE =角AOF
∵CE 是角C 的平分线
∴角DCO=角FCO
∵角B=60°
∴角A+角C=180-60=120°
∴角COD=角CAO+角OCA=角A/2+角C/2=60度
∴角OCF=180-角AOF-角COD=180-60-60=60°
∴角OCF=角COD
∵OC=OC
∴三角形OCD与CFO全等(两边夹角相等)
∴CF=CD
∴AC=AF+CF=AE+CD
即:AE+CD=AC
2、如图,△ABC中,AD平分∠BAC,DG⊥BC且平分BC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F. (1)说明BE=CF的理由;(2)如果AB=a,AC=b,求AE、BE的长.
证明:连接BD,CD
DG⊥BC于G且平分BC
所以GD为BC垂直平分线
垂直平分线上的点到线段两端点距离相等
BD=CD
角平分线上的点到角两边距离相等
,AD平分∠BAC,DE⊥AB于E,DF⊥AC的延长线于F
所以DE=DF
在RT△BED,RT△CFD中DE=DF
BD=CD
RT△BED≌RT△CFD(HL)
E
D
G
F
C B
A
A
F
E
D C B A BE=CF
应用: 五、旋转
例1 正方形ABCD 中,E 为BC 上的一点,F 为CD 上的一点,BE+DF=EF ,求∠EAF 的度数.
将三角形ADF 绕点A 顺时针旋转90度,至三角形ABG
则GE=GB+BE=DF+BE=EF
又AE=AE ,AF=AG ,
所以三角形AEF 全等于AEG
所以∠EAF=∠GAE=∠BAE+∠GAB=∠BAE+∠DAF 又∠EAF+∠BAE+∠DAF=90
所以∠EAF=45度
例2 D 为等腰Rt ABC ∆斜边AB 的中点,DM ⊥DN,DM,DN 分别交BC,CA 于点E,F 。
(1) 当MDN ∠绕点D 转动时,求证DE=DF 。 (2) 若AB=2,求四边形DECF 的面积。 做DP ⊥BC ,垂足为P ,做DQ ⊥AC ,垂足为Q ∵D 为中点,且△ABC 为等腰RT △ABC ∴DP=DQ=½BC=½AC 又∵∠FDQ=∠PDE(旋转)∠DQF=∠DPE=90°
∴△DQF ≌△DPE ∴S △DQF=S △DPE
又∵S 四边形DECF=S 四边形DFCP+S △DPE
∴S 四边形DECF=S 四边形DFCP+S △(AC=BC=定值)
∴四边形DECF 面积不会改变
例3 如图,ABC ∆是边长为3的等边三角形,BDC ∆是等腰三角形,且0
120BDC ∠=,以D 为顶点做一个0
60角,使其两边分别交AB 于点M ,交AC 于点N ,连接MN ,则A M N ∆的周长为 ;
B C
我简单说一下
过D点做DE⊥AB的延长线
然后证明DMN≌DME
(注意△DBE实际上是△DCN旋转后得来的)
责任编辑：风昊天
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